בעיית מידול: אלסטוסטטיקה חד-ממדית
מבוא: בעיית מידול
ברוב הבעיות הפיזיקלית הפתרונות האמיתיים לא חלקים; כלומר, הם לא גזירים ברציפות. נביט למשל במשוואה של שיווי משקל סטטי מכנית:
כאשר
כדי לפתור את משוואה זו בשיטות נומריות שאנו מכירים, אנו צריכים שהמאמץ,
נתחיל מבעיות חד-ממדיות פשוטות התופסות את המרחב הפתוח
איור 2.1: גוף חד ממדי. (Zohdi, 2018).
נתחיל מפיתוח הצורה החלשה של צורתה החד-ממדית של משוואה (ZT2.1):
כאשר
צורה חלשה
כדי לפתח את הצורה החלשה של משוואה מסוימת, למשל של (ZT2.2), שנקראת הצורה החזקה, נכפיל אותה בפונקציה שרירותית חלקה
כאשר
מה שאומר ש-
על כל תחום סופי ב-
איור 2.2: פעולת פונקציית המבחן על שאריות. (Zohdi, 2018).
לפי נגזרת של מכפלה על גזירה של
מה שאומר שלכל
ולאחר העברת אגפים, לכל
על
עלינו למצוא
זו נקראת הבעיה בצורתה ה-חלשה כי היא לא דורשת גזירות של
דוגמה:
נגדיר פונקציה רציפה
(כלומר, רציף בתחום ) על תחום חד ממדי . אנו טוענים כי אם לכל , אז .
נוכל להוכיח זאת בשלילה. נניח ש-בנקודה כללית . מאחר ו- , חייב להיות תת-קטע , שנגדירו , כך של- יש את אותו הסימן כמו בנקודה . מאחר ו- שרירותי, נוכל לבחור שערכו אפס מחוץ לקטע זה, ועם אותו הסימן של בתוך הקטע.
פונקציית שארית ופונקציית מבחן.
זה אומר ש:
שזו סתירה.
כעת נבחרמה שאומר ש:
ולכן
(כלומר, גזירה ברציפות פעמיים ב- ). לכן, לבעיה זו, הצורה החזקה והצורה החלשה שלה שקולות אם - כלומר, אם הפתרון גזיר ברציפות פעמיים.
מרחב סובולב הילברטי
בעיה מרכזית היא בחירת הפונקציות בצורה החלשה. בתמימות, נוכל לומר שהתשובה היא פשוטה - האינטגרלים חייבים להישאר סופיים. כלומר, האילוצים הם שלכל
כדי לנסח ביטויים יותר מפורשים, עלינו לפנות למערכת הנקראת מרחבי סובולב הילברטיים (Hilbertian Sobolev spaces). מסתבר יש משהו כזה שנקרא מרחב הילברט, ויש משהו שנקרא מרחב סובולב, ופה לוקחים שילוב של שניהם או משהו כזה.
ניזכר בשלושת התנאים בהגדרה של נורמה נורמה. (פירוט של שלושת התנאים ניתן למצוא שם.) סוג מסוים של נורמות, שנקראות נורמות מרכב הילברט (Hilbert space norms), נמצאות בשימוש רב בפיזיקה. כמוסכמה, אנו מסמנים ב-
בעזרת הגדרות אלו, נוכל לנסח בעיית תנאי שפה באופן מלא. אנו מניחים שכוחות הגוף
עלינו למצוא
נשים לב שאם המידע (הנתונים) ב-(ZT2.13) חלק, אז