SLD2_007 מאמצים נורמליים בכפיפה

מבוא

עד כה התעסקנו במאמצים בנקודה, ובמכניקת מוצקים 1 עסקנו בחישוב המאמצים כאשר הנחנו כי פילוג המאמצים אחיד לאורך קורה. כעת נשלב בין שני העולמות האלו כדי שנוכל להכליל למקרים בהם הפילוג מאמצים לא בהכרח אחיד לאורך קורה.

כפיפה משופעת

נביט בחתך (לא בהכרח בעל צורת עיגול) של קורה:

כאשר נסמן את כיוון הקורה ב-. ראינו בעבר שאת סך הכוחות והמומנטים הפועלים בתוך רחבי הקורה ניתן להציג בכוח שקול אחד ומומנט שקול אחד.

כמו במוצקים 1, נסמן את הרכיבים של הכוח השקול ב-, ו- כדי לייצג את הכוח הנורמלי, וכוחות הגזירה בהתאמה:

באותו אופן, את המומנט השקול נפרק:

כאשר הוא גודל מומנט הפיתול, ו- הם גדלי מומנטי הכפיפה בצירים המתאימים.

עבור נקודה כלשהית הנמצאת על חתך בכיוון הקורה (למשל ), ישנם מאמצים הפועלים במישור :

המאמץ הנורמאלי נגרם מהכוח הצירי ומומנטי הכפיפה ו-.
המאמצי גזירה ו- נגרמים מרכיבי כוח הגזירה ו-, ומומנט הפיתול .

היות ואין השפעה הדדית בין המאמץ הנורמלי ומאמצי הגזירה, נוכל לטפל בכל מאמץ באופן בלתי תלוי. כעת נדון רק במאמצים הנורמליים ונדחה את הטיפול במאמצי הגזירה להמשך. לפיכך נניח כי הכוח והמומנט בחתך הם:

נחשב את המאמץ הנורמלי על בסיס שתי הנחות:

1. אורך הקורה גדול בהרבה מממדי החתך הרוחבי ולכן בקורה העמוסה בכפיפה, אפשר להניח בקירוב טוב מאוד כי:
2. הנחת אוילר-ברנולי הקובעת כי חתכים מישוריים הניצבים לציר הקורה לפני הפעלת העומס נשארים מישוריים וניצבים לציר הקורה המכופפת אחרי הפעלת העומס.

נביט בשדה ההזזות של הקורה כתוצאה מהדפורמציה. לפי הנחת אוילר ברנולי, נובע כי העיבור הוא פונקציה לינארית של קואורדינטות החתך הרוחבי:

, כאשר הקבועים לא תלויים ב-, אבל כן תלויים ב-.

למה?

נביט במישור . לפי ההנחה המישור נשאר מישורי, ונשאר ניצב לציר הקורה. לכן, נוכל להניח כי הוא עובר לפחות אחד מהזזות הבאות:

כלומר, הוא לא עובר עיוות או סיבוב סביב ציר .
לכן, נוכל להציג את הרכיב ב- של שדה ההזזה כסכום כל ההזזות האלו:

כאשר הקבועים תלויים רק ב-.
לפי הגדרת טנזור העיבור, מתקיים:

מאחר והקבועים כולם תלויים רק ב-, אז נוכל לגזור את לפי כדי לקבל:

נסמן:

והגענו למשוואה שרצינו.

מאמץ נורמלי בכפיפה משופעת

אם נשתמש בקשרי מאמץ-עיבור, כאשר נשים לב שלפי ההנחה שלנו, :

נרשום את הקשרים בין העומס למאמצים:

עבור המומנטים, נחשב תחילה את המומנט בנקודה במישור :

נסכום ע”י אינטגרל:

כעת נוכל לקשור בין העומסים לנקודה:

נרשום את מערכת משוואות זו בצורה מטריצית (), כאשר נשים לב ש:

ונסמן:

(ה- הוא רכיבי מרכז הכובד של החתך, ו- נקרא רכיבי האינרציה של החתך). אזי:

בצד שמאל של המערכת הזו רשומים לנו העומסים שאנו יודעים לחשב בעזרת כלים ממכניקת מוצקים 1, ובצד ימין יש לנו את הנעלמים שאנו רוצים למצוא כדי לדעת מהו המאמץ בנקודה בחתך של הקורה. את המטריצה שיש לנו באמצע אנחנו יודעים לחשב מגאומטריית החתך.
למטריצה זו אנחנו קוראים מטריצת הקשיחות:

את ראשית הצירים נרצה למקם בצורה הנוחה ביותר. מעכשיו ואילך נמקם אותה במרכז הגאומטרי של החתך, ולכן:

כלומר, מטריצת הקשיחות שלנו תראה כך:

נקבל לאחר חישובים אלגבריים מעצבנים שהמאמץ הנורמלי:

נשים לב שבמוצקים 1, כאשר היה לנו מוט תחת עומס צירי בכיוון הקורה, ראינו כי הכוח היחיד הפועל בחתך הוא כוח נורמלי , ולכן המאמץ בחתך יהיה:

הביטוי שקיבלנו מקודם הוא הכללה של מקרה זה - קל לראות שאם , אז נקבל את אותו המאמץ כי כל הביטוי הימני מתאפס.

לטנזור האינרציה קיימים כיוונים ראשיים. אם נבחר לעבוד עם מערכת צירים שבה מקבילים לכיוונים הראשיים של :

ואז נקבל את הביטוי הבא למאמץ בנקודה :

טנזור האינרציה

נרצה להרחיב טיפה על טנזור האינרציה .

הגדרה:

רכיבי טנזור האינטרציה עבור נקודה מוגדר כך:

אז למשל, עבור החתך הבא:

אז הרכיב :

נסיק כי הרכיב מייצג לנו אומדן לגבי כמה הגאומטרייה של החתך רחוק מציר . ככל ש- גדול יותר, יש יותר “חומר” שרחוק מציר .

עבור הרכיבים שלא על האלכסון, נביט בחתך הסימטרי הבא:

עבור החתך הסימטרי לפי ציר , נראה כי מאחר ולכל שטח אינפיטסימלי יש מראה שלו לפי ציר בעל ערך הפוך, סכום כל האינטגרל הוא (בדומה מאוד לפונקציה אי זוגית בתחום סימטרי):

לכן, עבור חתך סימטרי, מערכת הצירים הראשית מקבילה לציר הסימטריה.

הערה:

ישנם כאלה שמגדירים את טנזור האינרציה בצורה הבאה:

לעומת , כפי שאנחנו מכירים. יש לשים לב מהם המוסכמות במקום בו אנו עובדים למהי הגדרת טנזור האינרציה.

מערכת ראשית של טנזור האינרציה

נשים לב כי כאשר אנו במערכת ראשית של , לפי הפיתוחים שביצענו מקודם:

רואים כאן כי תלוי רק ב-. כלומר, אם מפעילים רק מומנט בכיוון , נקבל כפיפה רק סביב ציר . באותו אופן עבור ו-.

למה מראה על כפיפה בכיוון , זה לא על כיוון ?

לא! ראה את השאלה המסבירה על הביטוי עבור העיבור.

אם אנחנו לא עובדים במערכת ראשית של טנזור האינרציה, אז נקבל את המקרה היותר כללי שפיתחנו קודם, המראה למשל כי גם וגם מושפעים מ-.

מקרים אילו, בהם אנו מקבלים כפיפה בשני כיווני המערכת שלנו, אנו קוראים כפיפה משופעת.

דוגמה:

עבור חתך מלבני:

נחשב:

נקבל נוסחה שנרצה לצרוב במוח:

באותו אופן, עבור :

ועבור נקבל

כי הוא סימטרי.
במקרים אילו, נשים לב שהקשר בין הכפיפה למומנטים הוא:

אז בסרגל דק מאוד, בו , אם נפעיל , יהיה מאוד קל לכופף אותו. לעומת זאת אם נפעיל , יהיה לנו מאוד קשה.

טרנספורמציה של טנזור האינרציה

הנוסחה הכללית לטרנספורמציה:

אבל אנו מדברים בעצם על המקרה הדו-ממדי, כך שנוכל לפשט את הנוסחה:

העתקה של מערכת הצירים - משפט שטיינר

לפעמים נרצה לשנות את המיקום מערכת הצירים שלנו, ולא בהכרח לסובב אותה. נביט באיור הבא, בו מתוארת הזזה של המערכת צירים במרחקים ו-:

נרצה לדעת איך נראה טנזור האינרציה החדש:

נציב את ו- כפי שהם מוצגים במערכת הצירים החדשה:

נזכור כי ונקבל את משפט שטיינר:

משפט:

טנזור האינרציה לאחר ההעתקה של מערכת צירים וטנזור אינרציה מקורי נתון ע”י:

עבור המקרה הפרטי בו מערכת הצירים המקורית, , היתה ממקומת במרכז הכובד של הגאומטרייה:

אז לדוגמה, עבור :

הערה:

נחזור ונדגיש זאת שוב. הנוסחה

רלוונטית רק למקרה בו המערכת צירים המקורית הייתה במרכז הכובד של הגאומטרייה.
נסיק מכך שהרכיבים האלכסוניים ו- תמיד יהיו הכי קטנים במערכת צירים שנמצאת במרכז הגאומטרי של החתך.

סופרפוזיציה

בהניתן שני גופים , כל עוד אנחנו מחשבים את טנזור האינרציה של שניהם לפי אותה המערכת צירים, נוכל לחשב הטנזור אינרציה של שני הגופים ביחד כסופרפוזיציה של שני הטזורי אינרציה שלהם:

---

תרגיל:
מצאו את טנזור האינרציה של:

1. עיגול ברדיוס ביחס למרכזו.
   פתרון:
   

   באותו אופן:

   עבור :

   ולסיכום:

2. צינור חלול בעל הרדיוסים ו- ביחס למרכז המעגל.
   פתרון:
   

   נעשה זאת בעזרת סופרפוזיציה של העיגול החיצוני בעל טנזור אינרציה והעיגול פנימי בעל טנזור האינרציה :

   אנו כבר יודעים לחשב את טנזורים אילו לפי הסעיף הקודם:

   באותו אופן עבור שאר הרכיבים:

3. צינור דק דופן בעל רדיוס ודופן () ביחס למרכז המעגל.
   פתרון:
   

   נשים לב כי ביחס לסעיף קודם:

   ולכן:

   נוכל כעת להזניח חלק מהביטויים כי :

   באותו אופן עבור , ונסכם כי:

---

תרגיל:
נתון גוף דק דופן בעל דופן .

1. מהם הכיוונים הראשיים?
2. מצאו את מרכז הכובד של הגוף.
3. מצאו את טנזור האינרציה של הגוף ביחס לנקודה .
4. מהו טנזור האינרציה של הגוף ביחס למרכז הכובד שלו?
   

פתרון:

1. נשים לב כי יש לנו ציר סימטריה בניצב לבסיס המשולש:
   
   ולכן במערכת הנתונה באיור נקבל מערכת ראשית:
2. לפי הגדרת מרכז הכובד: ולכן:
3. נחלק את הגוף לשלושה חלקים מלבניים דקי דופן, שאנו יודעים לחשב את טנזור האינרציה שלהם ישירות לפי מרכז הכובד שלהם.
   עבור המלבן התחתון: נזיז אותו לפי שטיינר לנקודה : באותו אופן עבור המלבן הימני: עבור המלבן על האלכסוני (שהמערכת הראשית שלו מסובבת ביחס למערכת צירים שלנו): נסובב את טנזור זה מהמערכת הראשית שלו למערכת שלנו . טנזור הטרנספורמציה יהיה: ולכן במערכת שלנו: נקבל: נעתיק אותו לנקודה לפי שטיינר:

כעת נוכל להפעיל את הסופרפוזיציה כדי לקבל:

4. נבצע שטיינר שוב:

---

ציר ניטרלי

נביט בחתך הבא:

במערכת ראשית של , המאמץ בנקודה יהיה נתון ע”י:

האם יש נקודות בחתך שעבורן ?
נבדוק מה זה ידרוש:

זוהי משוואה ישר . נשים לב שהישר הזה לא בהכרח אפילו נמצא על החתך שלנו - יכל להיות שהוא נמצא מחוץ אליו ואף פעם לא חותך אותו.
לישר זה אנו קוראים הציר הניטרלי:

אם היינו רוצים למצוא את כל הנקודות בהן המאמץ הוא למשל , נקבל את אותה המשוואה עם בצד הימני שלה. כלומר, נקבל ישר מקביל לישר הניטרלי. במרחק כלשהו ממנה. הבחנה זו מאוד חשובה כאשר נרצה למצוא את המאמץ המקסימלי בחתך.

דוגמה (שהיא פשוטה מאוד):

חשבו את הערך המקסימלי של בקורה.
פתרון:
נבחר מערכת צירים שהיא המערכת הראשית של .
לכן:

נמצא את העומסים בקורה בתלות בחתך (נשרטט דג”ח):

משיקולי כוחות:

נציב בנוסחה ל-:

נשים לב ש- מקסימלי כאשר מקסימלי, כלומר בחתך הקרוב לקיר, שלפי הנתונים, המרחק הוא , ולכן:

לפי הנוסחה שצרובה לנו בזיכרון לחתך מלבני:

ולכן:

נסיק כי הציר הניטרלי שלנו הוא :

לכן, המאמץ המקסימלי יתקבל בנקודות הכי רחוקות מ-. מאחר ו- הוא בכיוון כלפי מטה, ו- בסימן שלילי יחסית ל-, נסיק כי הוא מקסימלי בחלק העליון של החתך. נוכל לשרטט את פילוג המאמצים בחתך זה:

לכן, מקסימלי ייתקבל עבור , וערכו יהיה:

נשים לב שככל שנגדיל את , אמנם גם המרחק יגדל לנו, אבל יגדל הרבה יותר, ולכן נקבל מאמץ מקסימלי יותר נמוך.

---

תרגיל:
קורה רתומה בעלת חתך טבעי דק דופן מועמסת בכוח .
נתון:

פתרון:
מערכת הצירים שלנו כבר ממקומת במערכת ראשית של טנזור האינרציה , מאחר ועוברים בה יותר מציר סימטריה אחד. כלומר, טנזור האינרציה ייראה מהצורה הבאה:

בנוסף, נשים לב שהכוח שלנו יוצר כוח נורמלי בכיוון החיובי של , ומומנט .

כבר ראינו במוצקים 1 שבמקרה זה הכוח הנורמלי קבוע לאורך הקורה. הגודל היחיד שמשתנה הוא גודל כוח הכפיפה, , והוא הכי גדול בריתום. גודלו יהיה:

ולכן בריתום:

נרשום את הנוסחה למאמץ הצירי במערכת ראשית:

נבין כי נקבל ערכי מקסימלי ומינימלי עבור מקסימלי ומינימלי שקיימים על החתך:

הערה:

נשים לב שצריך במקרה הזה להיזהר כשאנו קובעים את המאמץ המינימלי. חישבנו את רק עבור הריתום כי אנו יודעים ששם נקבל מומנט כפיפה מקסימלי. אבל מי אמר בהכרח שנקבל שם באותו החתך את המינימלי?

במקרה הזה קיבלנו אותו גם בריתום. הסיבה לכך היא שהמקדם של תלוי בגודל מומנט הכפיפה , וכאשר שלילי, נקבל ערכים יותר ויותר קטנים עבור . לאורך הקורה, המקדם רק קטן, כך שהתרומה של הביטוי השלילי קטנה. לכן לא נוכל לקבל ערך יותר קטן מאשר בריתום.

ישנם מקרים טיפה יותר מסובכים, למשל במבחן, בהם יש יותר מומנטי כפיפה ונצטרך לבחון גם בנקודות מפנה את גודל .

---

תרגיל:
נתונה קורה בעלת חתך דק דופן , כמתואר באיור. נתון:

1. מצא את משוואת הציר הניטרלי עבור: פתרון:
   נציב נוסחה הכללית ל- את הנתונים:
   
   נשווה לאפס כדי למצוא את הציר הניטרלי ונקבל:
   
   אם הנתונים היו טיפה יותר מסובכים, היינו עוברים למערכת ראשית.
   נשים לב שאנחנו כעת לא במערכת ראשית. אבל, יש לגוף הנתון ציר סימטריה שנמצא ב- למערכת צירים הנוכחית. לכן, היינו מסובבים את טנזור האינרציה.
2. בתנאי העמיסה של הסעיף הקודם, באיזו מנקודות גודל המאמץ גדול ביותר?
   פתרון:
   נחשב את המאמץ בכל אחת מהנקודות:
   
   ולכן בכל אחת מהנקודות:
   
   נסיק כי:
   
3. כעת פועלים על הקורה העומסים:
   
   באיזו מנקודות גודל המאמץ גדול ביותר?
   פתרון:
   נקבל כעת שהמאמץ נתון ע”י:
   
   ולכן הוא יהיה אפסי בנקודה , ומקסימלי בגודלו בנקודות .